Parámetros de posición y dispersión.

Los aspectos que generalmente nos interesa conocer de una distribución son:

1)¿Cuál es el valor de mayor frecuencia?                                                  .

2) Si los datos tienden a acumularse hacia un valor, ¿cuál es este valor?

3) ¿Cuál es el valor que mejor representaría a la distribución si la suma de los valores se repar­tiera homogéneamente?

4)¿Cuál es el valor central de la distribución?

5) ¿Cuál es la dispersión de los datos?

6) ¿Cuánto difieren los valores entre sí?

Supongamos que un investigador a obtenido un conjunto de datos de una determinada característica de una determinada población. Como vimos anteriormente, el primer paso es la ordenación de los datos en una distribución de frecuencia (ya sea agrupadas ó sin agrupar). Posteriormente es necesario sintetizar ó analizar este conjunto de datos de alguna manera. Esto lo hacemos mediante dos índices que representan dos aspectos fundamentales de la distribución de frecuencia:

-su tendencia central.

-su dispersión.

Estos índices nos permiten estudiar y comparar las distribuciones entre sí.

Por ejemplo, la siguiente gráfica muestra la comparación entre la presión sanguínea de dos grupos de personas A y B:

Estas dos distribuciones se diferencia en cuanto a su posición. La presión sanguínea del grupo A tiende a agruparse alrededor del valor , mientras que las del grupo B tienden a agruparse alrededor del valor mayor que  .

Los valores  y   reciben el nombre de parámetros de posición ó medidas de tendencia central.

Supongamos ahora, que la el polígono de frecuencia de dos estudios estadísticos A y B tienen la siguiente gráfica:

En este caso, los datos de las distribuciones se agrupan alrededor  de un mismo valor central. Sin embargo ambas distribuciones son diferentes, ya que los datos de la distribución B están más dispersos que los de la distribución A.

Entonces, debemos definir unas nuevas características, que sea un índice del grado con el que los datos se agrupan alrededor de la medida de tendencia central. Estas se denominan  medidas de dispersión.

Medidas de tendencia central.

La media aritmética ó promedio:

En el caso de las variables numéricas, una de las medidas de tendencia central más usual es el pro­medio, también conocido como media aritmética ó simplemente media. Recordemos con un ejemplo cómo se obtiene el valer de la media.

Ejemplo :

Supongamos que cinco niños tiene 7, 2, 3, 7 y 1 manzanas respectivamente. Para obtener la me­dia se suman los cinco valores obtenidos y la suma se divide entre cinco. En este caso la media es:

Podemos observar que, en este caso, a pesar de que el valor de la media, 4, que no aparece en la colección de datos, nos da información acerca de esta colección, permitiéndonos responder a las pre­guntas 3 y 4 (ver el principio de éstos apuntes).

Una interpretación física de la media puede lograrse de la manera siguiente. Imaginemos que la recta numérica es una varilla sin peso y consideremos el segmento comprendido entre O y 8. Colgue­mos en los puntos asociados a cada valor tantos ganchitos de igual peso como veces se presenta dicho valor.

En el punto correspondiente a 7 colgamos dos ganchitos, ya que el 7 se presenta dos veces en nuestros datos; en los puntos correspondientes a 1, 2 y 3 colgamos un solo ganchito, puesto que cada uno de estos valores aparece una sola vez. Si suspendiéramos la varilla de un punto, veríamos que el número asociado al punto en el que la varilla queda en equilibrio coincide con el valor de la media. Entonces, si consideramos la varilla con los ganchitos como una representación de la distribución de los datos, podemos decir que la media es el "centro de gravedad" de la distribución.

La media aritmética de  una serie de n datos de observación , , , ....,  se representa por  y se define como la suma de todos los valores de una variable dividida por el número total de datos.

El cálculo de éste parámetro sólo se puede aplicar a variables cuantitativas.

 Para el caso de datos en una distribución de frecuencia simple, la media se la puede calcular con la fórmula anteriormente vista. En caso de que la distribución sea agrupadas hay que tener en cuenta que:

-Debemos trabajar con el punto medio de cada intervalo , como representante de todos los valores dentro del mismo.

-El punto medio de cada intervalo hay que multiplicarlo por su frecuencia correspondiente, sumar los productos así obtenidos y luego se divide en la cantidad de observaciones.

Lo que nos lleva a la siguiente fórmula:

 en donde 

= media aritmética                        frecuencia del intervalo.             

punto medio del intervalo       cantidad de observaciones

Al determinar la media con datos agrupados, el valor obtenido es un valor aproximado a la media real, que obtendríamos con los datos sin agrupar. Esto es debido a que utilizamos el punto medio de cada intervalo como representante de todos las observaciones que caen dentro del mismo, produciéndose en consecuencia una pérdida de información. Por lo tanto, no es aconsejable el cálculo de la media con datos agrupados cuando los datos no son muy numerosos.

Características de la media:

• la media es muy sensible a la variación de los datos extremos. Entonces, no es aconsejable calcular la media cuando la distribución de frecuencia tiene datos muy extremos. La media es función de todas y cada una de las puntuaciones y se verá muy afectada por esas puntuaciones extremas.
• Con los datos agrupados en intervalos, la media depende del número de intervalos elegidos, de su amplitud y de los límites de los mismos.
• La media no se la puede calcular si uno de los intervalos carece de límite.

La mediana.

La mediana de una serie de datos ordenados en orden creciente o decreciente, que se representa por , es el valor central.

Para datos no agrupados, debemos distinguir la cantidad de datos:

-          si la misma es un número par, la mediana será el promedio de los dos datos centrales.

-          si es un número impar, será el dato central.

En caso de que la distribución sea agrupada, hay que utilizar una fórmula.

Característica de la mediana:

• La mediana es el dato u observación que está en el 50% de los datos.
• Es menos sensible que la media a la variación de los datos extremos.
• Es más representativa que la media cuando existen datos extremos, puesto que la mediana depende de los datos centrales y no de los extremos.

La moda.

La moda de un conjunto, es el valor que corresponde al valor de la variable que tiene la mayor frecuencia.

Característica de la moda:

• Es muy sencilla de calcular, ya que la misma se obtiene generalmente por inspección y no por cálculo numérico.
• Con datos agrupados, la misma depende del número de intervalos elegidos, de su amplitud y de sus límites.

Cuartiles y percentiles.

Estos no son medidas de tendencia central, sino que son medidas de posición de los datos que nos informan del orden o de la posición que ocupa un dato dentro del total de datos observados.

Se define al percentil como el valor de la variable por debajo del cual se encuentra un porcentaje determinado de observaciones. Por ejemplo, el percentil 65 , simbolizado , es el valor de la variable que deja por debajo de sí al 65% del total de observaciones.

Los cuartiles son los valores de la variable que dejan por debajo de sí el 25%, el 50 % y el 75% del total de observaciones. Hay por lo tanto tres cuartiles ,  y , respectivamente.

El segundo cuartil () lleva el nombre de mediana.

Norma para la aplicación de los parámetros de posición.

En general, el uso de uno u otro parámetro, depende de:

• Del objetivo de nuestra investigación. Por ejemplo, si estamos interesados en conocer la opinión de los pacientes ingresados en un determinado hospital sobre el funcionamiento del mismo, interesa más conocer la opinión más generalizada (la moda) que cualquier otro parámetro de posición.
• Del tipo de variable estudiada.
• De cómo están distribuidos los datos. Cuando trabajemos con variables cuantitativas, la media es el parámetro más adecuado, ya que depende del valor de las observaciones; sin embargo hay situaciones en que es preferible utilizar la mediana o incluso la moda como índice descriptivo. Estas situaciones se dan cuando la distribución presenta valores extremos, en estos casos es preferible utilizar la mediana ya que ésta no varia con datos extremos, porque depende de los valores centrales.

  El rey que de estadista ascendió a estadístico.

                                                                       ( Joseph Doménech, Estadística descriptiva, Herder, Barcelona).

                        Érase una vez el país de Morbilandia....El rey, que era un gran estadista, estaba desesperado. Su príncipe heredero, aquel que estaba destinado a ceñir el día de mañana las pesadas responsabilidades de la corona, parecía en la base de su augusto cráneo un tumor maligno que, a decir de los médicos, agoreros y otras gentes, se extendía de manera irremediable.

            Un mes de vida era el breve tiempo que concedía al enfermo el mejor médico del país, el Curandero Mayor. El desesperado rey no carecía, pues, de fundamentos.

“Majestad – solía decir el Curandero Mayor del reino-no os desesperéis, que la Providencia es sabia”. Pero a pesar de que no desconfiaba el monarca de la sabiduría de la Providencia, pensó que era mejor consultar varías sabidurías que una sola. Y así lo hizo. Mandó a llamar a un joven y enterado médico, a uno de los que manejan una gran cantidad de estadísticas recién  incorporadas a su conocimientos, para cerciorarse de la veracidad de los números. Un mes es un espacio muy corto para una sangre real muy azul.

“¡Cinco años, majestad!. Cinco años es la supervivencia media que el doctor Cirujoff ha conseguido. En el feudo de Hospitalandia éste ilustre profesor, después de más de 25 años de extirpaciones de tumores craneales, ha conseguido superar todas las estadísticas de supervivencia: las de su país y las del extranjero”.

“¡Mecachis! –cavilaba el rey- no logro entenderlo. O mi curandero Mayor me engaña o este jovenzuelo pretende hacerlo”.

“¿Sabéis, joven doctor, que mi especialista no me ha recomendado a ese cirujano?”

“Majestad, será envidia. Os puedo asegurar que yo dispongo de ciertos sistemas para disuadir. Por ejemplo: la lapidación no es mal sistema para combatir las falacias, ¿no le parece?”.

El turno le tocó ahora al Curandero Mayor. En la audiencia con el rey la habitual cortesía palaciega se transformó en una conversación franca, como dicen las crónicas. Es decir: se fue al grano.

“He sabido-dijo el rey-que en el feudo de Hospitalandia la operación que necesita el príncipe se realiza con éxito,¿acaso mi mejor especialista y Curandero Mayor desconoce esto?”.

“Ciertamente el rumor ha llegado a mí, Majestad, pero había un error . Según mis noticias, el promedio de supervivencia se sitúa en cuatro meses, es decir, que la mitad de los intervenidos mueren antes de los cuatro meses”.

“Espero que estéis bien informado-dijo el rey-, de lo contrario sabed que nuestros verdugos tiempo ha que carecen de entrenamiento. Ello haría vuestra muerte más penosa. Y  lo sentiría de veras”.

Y así, igual que una frágil navecilla azotada por un fuerte temporal, la regia cabecita se atormentaba por el futuro del príncipe entre aquél mar turbulento de estadísticas que, al menos aparentemente, era contradictorias entre sí.

Pero su majestad, como capitán precavido, antes de enviar al príncipe heredero a Hospitalandia quiso que de manera discreta alguien recogiera más información. Un primo segundo del príncipe, persona de toda confianza, fue encargada de tal misión.

Como suele ocurrir en la mayoría de los estados, los asuntos de trascendencia se arreglan en los pasillo o en las fiestas.

No es –créalo el lector- que en Hospitalandia carecieran de pasillos, pero quiso la diosa fortuna que la estancia del emisario real coincidiese con una fiesta en el país que representaba la última esperanza para el heredero de Morbilandia.

            Hospitalandia era un país curioso. Sus gentes no estaban formadas por nobles y vulgo como parece normal. Eso sí, había jerarquía y clases: pacientes, camilleros, médicos y hasta doctores. Cuenta también con el gentilicio de las mujeres –al menos la mayoría- había sido el de enfermeras, pero con la reforma de la constitución habían pasado a llamarse ATS. Con una de ellas ligó por casualidad el regio emisario.

            “Asuntos graves requieren audacia”, se dijo el primo segundo. Y atacó por donde pudo sin encomendarse más que a sus proverbiales dones donjuanescos.

            Radiante de felicidad regresaba el emisario a su país. Había conseguido más incluso de lo que había de esperar. Recordaba como sí aún sonaba en sus oídos el eco de aquellas palabras pronunciadas por la gentil habitante de Hospitalandia “¿El doctor Cirujoff?. Le llaman el carnicero de Hospitalandia. Lo más frecuente es que este tipo de pacientes mueran antes del mes”.

La cólera del rey ante esa nueva especie de burla ya no tenía límite. Pensó que hasta sus parientes trataban de conjurarse contra él y contra su dolor. ¿Cómo es posible –pensó- que el Curandero Mayor dé un mes de vida al príncipe frente a los cinco años de supervivencia media que prometía el joven médico si era tratado por el doctor Cirujoff?.

¿Porqué se me dice que la supervivencia media es de cinco años y por otro lado me anuncia que el promedio de supervivencia del 50% de los casos es de cuatro meses?,¿y cómo mis propios familiares me anuncian que lo más frecuente es que el paciente muera antes del mes?.

            Cualquier otro habría mandando a tal pandilla de farsantes a la horca, pero él, que era muy prudente y entendía mucho de los asuntos de estado, por eso recibía el apodo de  “el estadista”, convocó al Consejo de Sabios y Similares.

            La deliberación, desde luego, fue dura. La Retórica  y la astronomía podrían ayudar a embellecer y orientarse en el problema. La Geometría y la Filosofía a delimitarlo y discutirlo. La Medicina y la Música, en cambio, parecían ofrecer pocas soluciones. Entre todas estas disciplinas y entre todos los discursos descolló la estadística y la explicación del sabio estadístico, que fue del tenor siguiente:

“Majestad, están en mi poder datos de Hospitalandia y he podido probar que el joven médico os ha dado un valor correcto: la supervivencia media es de cinco años. También el Curandero Mayor os ha dicho la verdad: la supervivencia mediana es de 4 meses. Ni siquiera  la ATS ha engañado a vuestro emisario, porque lo más frecuente, es decir, la moda la moda de la supervivencia está entre 0 y 30 días.

Vuestras informaciones os han dado, por lo tanto, números correctos, pero insuficientes para conocer la verdad. Estos índices estadísticos, llamados  medidas de tendencia central, deben ir acompañados de otros índices, llamados de dispersión, que completan la información estadística dando, en nuestro caso, una imagen de la homogeneidad de la distribución de supervivencia, que podéis ver en éste pergamino: 

             MEDIA: 5 años     MEDIANA: 4 meses        MODA: 15 días.

En distribuciones muy asimétricas como ésta, la media aritmética no es una medida de tendencia central adecuada para describirlas. El índice que proporciona la mejor imagen es la mediana, que os ha dado el Curandero mayor. Pero en casos como estés preferible incluso una medida frívola, como la moda, dada por la ATS,a la media, que os ha indicado el joven médico”.

            Después de ésta explicación, el dolor por la enfermedad del príncipe continúo atormentando al rey, pero –si no se vive no se siente- el rey pudo comprender que liberado de tantas falsas conclusiones podía dedicarse a su único sufrimiento y a su único problema.

            Y si gran cualidad de rey es la moderación, podemos decir que fue un rey grande, incluso al castigar a quien aconsejó sin analizar el problema del todo. Aunque más que castigo fue una lección.

            Hizo sencillamente que aprendiera estadística. Y lo logró con una sola lección que sería ocioso repetirla completa. En resumen, le invitó a su cena, pero no a cenar. No faltó nada. Los mejores vinos del año y las mejores reservas aplacaron la sed del rey y la mirada del invitado. Los corrales del palacio se vieron privados de sus más tiernos ejemplares que condimentó el cocinero real, galo de origen, según cuentan. El joven médico, que tenía buen olfato, pudo saciarlo, como el rey sació su apetito. El resto fácilmente se entiende.

Acabada la cena, viendo el rey que el invitado no estaba del todo sastifecho, repuso que no entendía el motivo. Había habido para los dos, desde luego. Incluso había sobrado: si las Estadísticas no mienten, en media había comido cada uno la mitad de los manjares y habían consumido la mitad de los vinos., ¿a qué venía pues el descontento?.

            Ante tanta magnificencia real no se dudó. Poco días después, reunida la asamblea del Reino y el Consejo de Sabios y Similares, se cambiaba el apodo oficial del rey: ya no lo llamarían “el estadista”, sino “el estadístico”.

BIBLIOGRAFÍA:

·         Ranpún, Lorenzo y otros. Matemáticas 1. Ed. Ma Graw Grill.

·         Tapia.  Matemática 4.  Ed. Estrada.

·         Guzmán, Miguel   Matemática 1. COU.  Ed. Anaya. (en biblioteca).

·         Guzmán, Miguel   Matemática 2. COU.  Ed. Anaya. (en biblioteca).

·         Blalock, Hubert  Estadística social.          Ed. FCE, México